Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\frac{e^{x^{3}}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \frac{e^{x^{3}}}{x}
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia (para derivar e^{x^3}) e a regra do produto (ou quociente) para combinar e^{x^3} com x^{-1}.

Passo 2

Reescrevemos a função como produto para facilitar:
y = x^{-1}\,e^{x^{3}}
Aí usaremos a regra do produto: se y = u\cdot v, então y' = u'\,v + u\,v'.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
– Para u(x)=x^{-1},
u'(x) = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.
– Para v(x)=e^{x^{3}}, aplicamos a regra da cadeia: se v=e^{w} com w=x^3, então
v'(x) = e^{w}\,w' = e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto,
y' = u'\,v + u\,v' = \bigl(-x^{-2}\bigr)e^{x^{3}} + x^{-1}\bigl(e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}\bigr).

Passo 5

Fatoramos e^{x^{3}} e simplificamos potências de x:
y' = -\frac{e^{x^{3}}}{x^{2}} + \frac{3x^{2}\,e^{x^{3}}}{x} = e^{x^{3}}\Bigl(-\frac{1}{x^{2}} + \frac{3x}{1}\Bigr) = \frac{e^{x^{3}}\,(3x^{3}-1)}{x^{2}}.

Resposta

y' = \frac{e^{x^{3}}\,(3x^{3}-1)}{x^{2}}.

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