Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=e^{-x^{2}}+\ln \left(5 x^{2}+4 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = e^{-x^{2}} + \ln\bigl(5x^{2} + 4x\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois cada parcela é uma função composta:
y_{1}(x)=e^{u(x)} com u(x)=-x^{2}.
y_{2}(x)=\ln\bigl(v(x)\bigr) com v(x)=5x^{2}+4x.
Vamos calcular \tfrac{dy_{1}}{dx} e \tfrac{dy_{2}}{dx} separadamente e depois somar.

Passo 2

Para y_{1}(x)=e^{u(x)} com u(x)=-x^{2}, a regra da cadeia diz
\frac{dy_{1}}{dx} = e^{u(x)} \cdot u'(x).
Como
u'(x) = \frac{d}{dx}(-x^{2}) = -2x,
segue
\frac{dy_{1}}{dx} = e^{-x^{2}} \cdot (-2x) = -2x\,e^{-x^{2}}.

Passo 3

Para y_{2}(x)=\ln\bigl(v(x)\bigr) com v(x)=5x^{2}+4x, a regra da cadeia dá
\frac{dy_{2}}{dx} = \frac{v'(x)}{v(x)}.
E
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}+4x\bigr) = 10x + 4.
Portanto
\frac{dy_{2}}{dx} = \frac{10x + 4}{5x^{2} + 4x}.

Passo 4

A derivada de y é a soma de \tfrac{dy_{1}}{dx} e \tfrac{dy_{2}}{dx}, logo
\frac{dy}{dx} = -2x\,e^{-x^{2}} + \frac{10x + 4}{5x^{2} + 4x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -2x\,e^{-x^{2}} + \frac{10x + 4}{5x^{2} + 4x}.

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