Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=e^{-2 x} \cdot \operatorname{sen}(3 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = e^{-2x}\,\operatorname{sen}(3x)
e pede sua derivada. Vamos usar a regra do produto para derivar o produto de duas funções e, internamente, a regra da cadeia para as funções compostas e^{-2x} e \operatorname{sen}(3x).

Passo 2

Seja
f(x) = e^{-2x}, \quad g(x) = \operatorname{sen}(3x).
Pela regra do produto,
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 3

Agora calculamos f'(x) e g'(x) usando a regra da cadeia:
f) Para f(x)=e^{-2x}, a derivada do expoente -2x é -2. Logo,
f'(x) = -2\,e^{-2x}.
g) Para g(x)=\operatorname{sen}(3x), a derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u) vezes u'. Aqui u=3x tem u'=3. Logo,
g'(x) = 3\,\cos(3x).

Passo 4

Substituindo em
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x),
temos
y' = \bigl(-2\,e^{-2x}\bigr)\,\operatorname{sen}(3x) + e^{-2x}\,\bigl(3\,\cos(3x)\bigr).
Fatorando e^{-2x},
y' = e^{-2x}\,\bigl(-2\,\operatorname{sen}(3x) + 3\,\cos(3x)\bigr).

Resposta

\boxed{y' = e^{-2x}\,\bigl(-2\,\operatorname{sen}(3x) + 3\,\cos(3x)\bigr).}

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