Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\frac{\operatorname{sen}(-4 x)}{e^{-2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{\operatorname{sen}(-4x)}{e^{-2x}}
usando regra da cadeia (e, se desejarmos, regra do quociente ou do produto). Vamos precisar das identidades trigonométricas \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}(\theta) e da propriedade de potência de e.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função usando
\operatorname{sen}(-4x)=-\operatorname{sen}(4x)
e
\frac{1}{e^{-2x}}=e^{2x}.
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y = -\operatorname{sen}(4x)\,e^{2x}.

Passo 3

Agora vemos y como produto de duas funções:
u(x) = -\operatorname{sen}(4x), \quad v(x) = e^{2x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto y' = u'v + uv':
  1. Derivada de u(x): u'(x) = -\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(4x)\bigr] = -\cos(4x)\cdot 4 = -4\cos(4x).
  2. Derivada de v(x): v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[e^{2x}\bigr] = e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}.

Passo 5

Substituindo em y' = u'v + uv', temos
y' = \bigl(-4\cos(4x)\bigr)\,e^{2x} +\bigl(-\operatorname{sen}(4x)\bigr)\,(2e^{2x}) = e^{2x}\bigl(-4\cos(4x)-2\operatorname{sen}(4x)\bigr).
Fatorando -2:
y' = -2e^{2x}\bigl(2\cos(4x)+\operatorname{sen}(4x)\bigr).

Resposta

y' = -2e^{2x}\bigl(2\cos(4x)+\operatorname{sen}(4x)\bigr).

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