Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\cos \left(\frac{2}{x^{2}}-4 x-20\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \cos\Bigl(\frac{2}{x^{2}} - 4x - 20\Bigr)
Usaremos a regra da cadeia, que nos diz que, se y = f(u) e u = u(x), então
y' = f'(u)\,\cdot u'(x).

Passo 2

Identificamos a composição
f(u) = \cos(u) \quad\text{e}\quad u(x) = \frac{2}{x^{2}} - 4x - 20.
Sabemos que
f'(u) = -\sin(u),
logo, pela regra da cadeia,
y' = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x).

Passo 3

Vamos calcular u'(x). Escrevendo
u(x) = 2x^{-2} - 4x - 20,
temos
u'(x) = 2\cdot(-2)x^{-3} - 4 = -4x^{-3} - 4.

Passo 4

Substituindo f'(u) e u'(x) em y':
y' = -\sin\Bigl(\frac{2}{x^{2}} - 4x - 20\Bigr)\,\bigl(-4x^{-3} - 4\bigr).
Fatorando o sinal:
y' = \bigl(4x^{-3} + 4\bigr)\,\sin\Bigl(\frac{2}{x^{2}} - 4x - 20\Bigr).

Resposta

y' = \Bigl(4\,x^{-3} + 4\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{2}{x^{2}} - 4x - 20\Bigr).

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