Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\operatorname{sen}^{3}\left(4 x^{2}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sin^{3}\bigl(4x^{2}+6x\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada de função composta com três camadas: a potência, a função seno e o polinômio. Para resolver, vamos aplicar a regra da cadeia sucessivamente.

Passo 2

Definimos as funções internas e suas derivadas:
u = \sin\bigl(4x^{2}+6x\bigr), \quad y = u^{3},
w = 4x^{2}+6x, \quad u = \sin(w).
Então
\frac{dy}{du} = 3u^{2}, \quad \frac{du}{dw} = \cos(w), \quad \frac{dw}{dx} = 8x + 6.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dw}\,\frac{dw}{dx} = 3u^{2}\,\cos(w)\,(8x+6).
Substituindo u = \sin(4x^{2}+6x) e w = 4x^{2}+6x, obtemos
\frac{dy}{dx} = 3\sin^{2}(4x^{2}+6x)\,\cos(4x^{2}+6x)\,(8x+6).

Resposta

\frac{dy}{dx} = 3\sin^{2}(4x^{2}+6x)\cos(4x^{2}+6x)\,(8x+6).

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