Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\sqrt{\frac{2 x}{4 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede derivar y = \sqrt{\frac{2x}{4x+1}} usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é a diferenciação de uma função composta em que a parte externa é uma raiz quadrada e a parte interna é uma função racional. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente.

Passo 2

Escrevemos
y = g\bigl(u(x)\bigr),
onde
g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \quad\text{e}\quad u(x) = \frac{2x}{4x+1}.
Pela regra da cadeia,
y' = g'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).

Passo 3

Derivando a parte externa g(u)=u^{1/2}:
g'(u) = \frac12\,u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 4

Derivando a parte interna u(x)=\tfrac{2x}{4x+1} pela regra do quociente:
u'(x) = \frac{\bigl(2\bigl)(4x+1\bigr) - \bigl(2x\bigr)(4)}{(4x+1)^2} = \frac{8x+2-8x}{(4x+1)^2} = \frac{2}{(4x+1)^2}.

Passo 5

Substituindo em y' = g'(u(x))\,u'(x):
y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2x}{4x+1}}}\;\cdot\;\frac{2}{(4x+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2x}{4x+1}}\,(4x+1)^2}.

Passo 6

Para simplificar, note que \sqrt{\tfrac{2x}{4x+1}} = \tfrac{\sqrt{2x}}{\sqrt{4x+1}}. Então
y' = \frac{1}{(4x+1)^2}\,\frac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{(4x+1)^{3/2}\,\sqrt{2x}}.

Resposta

y' = \frac{1}{(4x+1)^{3/2}\,\sqrt{2x}}.

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