Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\log _{2}[3 x-\cos (2 x)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = \log_{2}\bigl[\,3x - \cos(2x)\bigr].
O conteúdo principal é a regra da cadeia combinada com a derivada de logaritmo e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 3x - \cos(2x).
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de u'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). A derivada de 3x é 3 e a derivada de -\cos(2x) é
-\bigl(-\sin(2x)\bigr)\cdot 2 = 2\,\sin(2x).
Logo,
u'(x) = 3 + 2\,\sin(2x).

Passo 4

Agora derivamos a parte externa y = \log_{2}u. Em geral,
\frac{d}{dx}\bigl[\log_{a}u(x)\bigr] = \frac{u'(x)}{u(x)\,\ln(a)}.
No nosso caso, a=2, então
y' = \frac{u'(x)}{u(x)\,\ln(2)} = \frac{3 + 2\,\sin(2x)}{\bigl(3x - \cos(2x)\bigr)\,\ln(2)}.

Resposta

y' = \frac{3 + 2\,\sin(2x)}{\bigl(3x - \cos(2x)\bigr)\,\ln(2)}.

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