Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\frac{\sqrt[3]{8 x^{3}+27}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\frac{\sqrt[3]{8x^{3}+27}}{x}
usando a regra da cadeia e também a regra do produto (ou quociente). Vamos precisar reescrever y de forma que fique claro o uso dessas regras e depois aplicar a diferenciação.

Passo 2

Reescrevemos
y = (8x^{3}+27)^{\tfrac{1}{3}}\;x^{-1}.
Aqui definimos
u(x) = (8x^{3}+27)^{\tfrac{1}{3}} \quad\text{e}\quad v(x) = x^{-1},
de modo que y = u(x)\,v(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) pela regra da cadeia. Se u(t)=t^{1/3} e t=8x^3+27, então
u'(x) =\frac{1}{3}(8x^{3}+27)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot\frac{d}{dx}(8x^3+27) =\frac{1}{3}(8x^{3}+27)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot24x^2 =8x^2\,(8x^{3}+27)^{-\tfrac{2}{3}}.
E para v(x)=x^{-1} temos
v'(x) = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
y' = u'\,v + u\,v' = \bigl[8x^2\,(8x^{3}+27)^{-\tfrac{2}{3}}\bigr]\;x^{-1} + (8x^{3}+27)^{\tfrac{1}{3}}\;(-x^{-2}).

Passo 5

Simplificamos termo a termo:
y' =8x^{2-1}\,(8x^{3}+27)^{-\tfrac{2}{3}} \;-\;(8x^{3}+27)^{\tfrac{1}{3}}\,x^{-2} =8x\,(8x^{3}+27)^{-\tfrac{2}{3}} - x^{-2}\,(8x^{3}+27)^{\tfrac{1}{3}}.
Para obter forma única, fatoramos (8x^3+27)^{-\tfrac{2}{3}}\,x^{-2}:
y' =(8x^{3}+27)^{-\tfrac{2}{3}}\,x^{-2}\,\bigl[8x^3 - (8x^3+27)\bigr] =(8x^{3}+27)^{-\tfrac{2}{3}}\,x^{-2}\,(-27).
Logo,

Resposta

y'=-\frac{27}{x^{2}\,(8x^{3}+27)^{\tfrac{2}{3}}}.

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