Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\ln \left(t^{2}+3 t+9\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\ln\bigl(t^{2}+3t+9\bigr) usando a regra da cadeia. Aqui o conteúdo é derivação de função composta, em que temos uma função externa \ln(u) e uma interna u(t)=t^{2}+3t+9.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, reconhecemos que se y=\ln\bigl(u(t)\bigr), então
y'=\frac{u'(t)}{u(t)}.

Passo 3

Agora derivamos a função interna u(t)=t^{2}+3t+9.
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(3t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(9\bigr)=2t+3+0=2t+3.

Passo 4

Substituindo u(t) e u'(t) na fórmula de y', obtemos
y'=\frac{2t+3}{t^{2}+3t+9}.

Resposta

y'=\frac{2t+3}{t^{2}+3t+9}.

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