Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\cos \left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função composta
y = \cos\bigl(e^{x}\bigr)
e pede a sua derivada em relação a x. O conteúdo aqui é a regra da cadeia, isto é, precisamos identificar a função externa f e a função interna u, derivar cada uma e depois multiplicar conforme a regra.

Passo 2

Definimos a função interna e a função externa:
u(x) = e^{x}, \quad f(u) = \cos(u).
A derivada de f em relação a u é
f'(u) = -\sin(u).

Passo 3

A derivada de u em relação a x é
u'(x) = \frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}.
Pela regra da cadeia, a derivada de y em relação a x é
y' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = \bigl(-\sin\bigl(e^{x}\bigr)\bigr)\cdot e^{x} = -e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr).

Resposta

y' = -e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr).

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