Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\left(\frac{7 x+1}{2 x^{2}+3}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \left(\frac{7x+1}{2x^2+3}\right)^3
Aplicaremos a regra da cadeia, que diz que se y = f(u(x)) então
y' = f'(u(x))\cdot u'(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = \frac{7x+1}{2x^2+3}.
Assim y = [u(x)]^3.

Passo 3

Calculamos a derivada de y em função de u:
\frac{d}{du}\bigl(u^3\bigr) = 3u^2,
logo pela regra da cadeia
y' = 3\bigl(u(x)\bigr)^2 \cdot u'(x).

Passo 4

Agora derivamos u(x) usando a regra do quociente. Se
u(x)=\frac{v(x)}{w(x)},
então
u'(x)=\frac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{\bigl(w(x)\bigr)^2}.
Aqui v(x)=7x+1 e w(x)=2x^2+3, então
v'(x)=7, \quad w'(x)=4x.
Substituindo,
u'(x) = \frac{7\,(2x^2+3)-(7x+1)\,4x}{(2x^2+3)^2} = \frac{14x^2+21 -28x^2 -4x}{(2x^2+3)^2} = \frac{-14x^2 -4x +21}{(2x^2+3)^2}.

Passo 5

Finalmente, juntamos tudo:
y' = 3\bigl(u(x)\bigr)^2 \cdot u'(x) = 3\left(\frac{7x+1}{2x^2+3}\right)^{\!2} \cdot \frac{-14x^2 -4x +21}{(2x^2+3)^2} = \frac{3\,(7x+1)^2\,\bigl(-14x^2 -4x +21\bigr)}{(2x^2+3)^4}.

Resposta

y' = \frac{3\,(7x+1)^2\,\bigl(-14x^2 -4x +21\bigr)}{(2x^2+3)^4}.

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