Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=(\cos x)^{3}+(\operatorname{sen} x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (\cos x)^{3} + (\sin x)^{2}
Usamos a regra da soma, a regra da cadeia para potências e as derivadas básicas \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x e \frac{d}{dx}\sin x = \cos x.

Passo 2

Para a primeira parcela, defina u(x)=\cos x e f(u)=u^{3}. Então
\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)^{3} = f'(u)\,u'(x) = 3u^{2}\cdot(-\sin x) = -3\cos^{2}x\,\sin x.

Passo 3

Para a segunda parcela, defina v(x)=\sin x e g(v)=v^{2}. Então
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)^{2} = g'(v)\,v'(x) = 2v\cdot\cos x = 2\sin x\,\cos x.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
y' = -3\cos^{2}x\,\sin x + 2\sin x\,\cos x.
Opcionalmente, dá para fatorar \sin x\,\cos x:
y' = \sin x\,\cos x\,(2 - 3\cos x).

Resposta

y' = -3\cos^{2}x\,\sin x + 2\sin x\,\cos x.

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