Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\sqrt[3]{\left(3 x^{2}+6 x-2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\sqrt[3]{\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{2}}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia, combinada com a regra de potência para derivar funções da forma u(x)^n.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potência, temos
y = \bigl(3x^2 + 6x - 2\bigr)^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 3

Definimos
u(x) = 3x^2 + 6x - 2,
de modo que
y = u(x)^{\tfrac{2}{3}}.
Pela regra da cadeia e da potência,
y' = \frac{2}{3}\,u(x)^{\tfrac{2}{3}-1}\,\cdot u'(x).

Passo 4

Calculamos a derivada de u:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x^2 + 6x - 2\bigr) = 6x + 6 = 6(x+1).
Substituindo em y':
y' = \frac{2}{3}\,\bigl(3x^2+6x-2\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}\;\bigl(6(x+1)\bigr).
Agrupando e simplificando o fator numérico:
y' = \frac{2\cdot6}{3}\,(x+1)\,(3x^2+6x-2)^{-\tfrac{1}{3}} =4\,(x+1)\,(3x^2+6x-2)^{-\tfrac{1}{3}}.

Resposta

y' = 4\,(x+1)\,(3x^2+6x-2)^{-\tfrac{1}{3}} \quad\text{ou, equivalentemente,}\quad y' = \frac{4(x+1)}{\sqrt[3]{3x^2+6x-2}}.

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