Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\left(6 x+\frac{1}{2}\right)^{-5}

Passo 1

No enunciado temos a função composta
y = \left(6x + \frac{1}{2}\right)^{-5}
e o objetivo é encontrar a derivada \frac{dy}{dx} usando a regra da cadeia. Para isso, vamos identificar a função interna e a externa.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 6x + \frac{1}{2}
e a função externa
v(u) = u^{-5}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
a) Derivada da externa em relação a u:
v'(u) = -5\,u^{-6}.
b) Derivada da interna em relação a x:
u'(x) = 6.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos
\frac{dy}{dx} = v'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x) = \bigl(-5\,u^{-6}\bigr)\,\cdot\,6 = -30\,u^{-6}.
Substituindo u(x)=6x+\frac12, resulta
\frac{dy}{dx} = -30 \left(6x + \frac{1}{2}\right)^{-6}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -30 \left(6x + \frac{1}{2}\right)^{-6}.

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