Utilize a regra da cadeia para calcular as integrais a seguir:
integral x^2 e^-4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2e^-4x,dx
usando essencialmente a ideia da regra da cadeia invertida, ou seja, integração por partes. Vamos ter que aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
duas vezes, escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos para a primeira aplicação de partes:
u = x^2, dv = e^-4x,dx
Então calculamos
du = 2x,dx
e
v = integral e^-4x,dx = -14e^-4x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x^2e^-4x,dx = u,v - integral v,du = x^2l(-tfrac14e^-4xr) - integral l(-tfrac14e^-4xr),(2x,dx)
Isso simplifica para
integral x^2e^-4x,dx = -tfrac14x^2e^-4x + tfrac12integral x,e^-4x,dx

Passo 4

Agora precisamos calcular
integral x,e^-4x,dx
por partes novamente. Definimos:
u2 = x, dv2 = e^-4x,dx
Logo
du2 = dx, v2 = integral e^-4x,dx = -tfrac14e^-4x

Passo 5

Aplicando partes à integral remanescente:
integral x,e^-4x,dx = u2v2 - integral v2,du2 = xl(-tfrac14e^-4xr) - integral l(-tfrac14e^-4xr),dx
= -tfrac14x,e^-4x + tfrac14integral e^-4x,dx = -tfrac14x,e^-4x + tfrac14l(-tfrac14e^-4xr) = -tfrac14x,e^-4x - tfrac116e^-4x

Passo 6

Substituímos esse resultado em
integral x^2e^-4x,dx = -tfrac14x^2e^-4x + tfrac12integral x,e^-4x,dx.
Fica:
integral x^2e^-4x,dx = -tfrac14x^2e^-4x + tfrac12l(-tfrac14x,e^-4x - tfrac116e^-4xr)
= -tfrac14x^2e^-4x - tfrac18x,e^-4x - tfrac132e^-4x + C

Resposta

integral x^2e^-4x,dx = -14x^2e^-4x - 18x,e^-4x - 132e^-4x + C

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