Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
.
;
quando
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
R=ln(u²+v²+w²)
onde u=x+2y, v=2x−y e w=2xy, usando a regra da cadeia e avaliar em x=y=0.1.
R=ln(u²+v²+w²)
onde u=x+2y, v=2x−y e w=2xy, usando a regra da cadeia e avaliar em x=y=0.1.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, primeiro notamos que
R é função de (u,v,w) e cada um deles é função de (x,y). Então
R é função de (u,v,w) e cada um deles é função de (x,y). Então
e
Como R=ln(u²+v²+w²), temos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de u,v,w em relação a x e y:
u=x+2y \implies u_x=1,;u_y=2
v=2x−y \implies v_x=2,;v_y=−1
w=2xy \implies w_x=2y,;w_y=2x.
u=x+2y \implies u_x=1,;u_y=2
v=2x−y \implies v_x=2,;v_y=−1
w=2xy \implies w_x=2y,;w_y=2x.
Passo 4
Substituindo na regra da cadeia obtemos
Passo 5
Em x=y=0.1 temos:
u=0.1+2·0.1=0.3,
v=2·0.1−0.1=0.1,
w=2·0.1·0.1=0.02
Logo u²+v²+w²=0.09+0.01+0.0004=0.1004.
Os numeradores de ambas derivadas dão 1.008, de modo que
u=0.1+2·0.1=0.3,
v=2·0.1−0.1=0.1,
w=2·0.1·0.1=0.02
Logo u²+v²+w²=0.09+0.01+0.0004=0.1004.
Os numeradores de ambas derivadas dão 1.008, de modo que