Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
R=ln (u^2+v^2+w^2), u=x+2 y, v=2 x-y.
w=2 x y;
partial Rpartial x, partial Rpartial y quando x=y=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
R=ln(u²+v²+w²)
onde u=x+2y, v=2x−y e w=2xy, usando a regra da cadeia e avaliar em x=y=0.1.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro notamos que
R é função de (u,v,w) e cada um deles é função de (x,y). Então
partial Rpartial x=partial Rpartial u,ux+partial Rpartial v,vx+partial Rpartial w,wx
e
partial Rpartial y=partial Rpartial u,uy+partial Rpartial v,vy+partial Rpartial w,wy.
Como R=ln(u²+v²+w²), temos
partial Rpartial u=2uu²+v²+w²,partial Rpartial v=2vu²+v²+w²,partial Rpartial w=2wu²+v²+w²²²²²²²²²²

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de u,v,w em relação a x e y:
u=x+2y \implies u_x=1,;u_y=2
v=2x−y \implies v_x=2,;v_y=−1
w=2xy \implies w_x=2y,;w_y=2x.

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia obtemos
partial Rpartial x=1u²+v²+w²l(2ucdot1+2vcdot2+2wcdot(2y)r) ²²²
partial Rpartial y=1u²+v²+w²l(2ucdot2+2vcdot(−1)+2wcdot(2x)r) ²²².

Passo 5

Em x=y=0.1 temos:
u=0.1+2·0.1=0.3,
v=2·0.1−0.1=0.1,
w=2·0.1·0.1=0.02
Logo u²+v²+w²=0.09+0.01+0.0004=0.1004.
Os numeradores de ambas derivadas dão 1.008, de modo que
partial Rpartial x=1.0080.1004approx10.04, partial Rpartial y=1.0080.1004approx10.04

Resposta

partial Rpartial xapprox10.04,partial Rpartial yapprox10.04

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