Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
5) u=x+yy+z, x=p+r+t, y=p-r+t, z=p+r-t ; partial upartial x, partial upartial y, partial upartial z.

Passo 1

O enunciado define
u(x,y,z)=x+yy+z
e pede as derivadas parciais partial upartial x, partial upartial y e partial upartial z.
O conteúdo principal é aplicação da regra do quociente (que é um caso particular da regra da cadeia) para funções de várias variáveis, tratando as outras variáveis como constantes a cada derivação parcial.

Passo 2

Derivada parcial de u em relação a x:
aqui y e z são constantes, e
u(x,y,z)=x+yy+z
é um quociente onde o denominador não depende de x. Logo
partial upartial x =partialpartial xl(x+yr)cdot1y+z =1y+z

Passo 3

Derivada parcial de u em relação a y:
agora x e z são tratados como constantes. Usamos a regra do quociente
partialpartial y!gl(NDgr) =N'y,D - N,D'yD^2,
onde N(x,y,z)=x+y e D(x,y,z)=y+z.
Calculamos
N'y=partialpartial y(x+y)=1, D'y=partialpartial y(y+z)=1
Logo
partial upartial y =(1)(y+z)-(x+y)(1)(y+z)^2 =y+z - x - y(y+z)^2 =z - x(y+z)^2

Passo 4

Derivada parcial de u em relação a z:
aqui x e y são constantes. Novamente a regra do quociente com
N'z=partialpartial z(x+y)=0, D'z=partialpartial z(y+z)=1
Assim
partial upartial z =0cdot (y+z)-(x+y)cdot 1(y+z)^2 =-x+y(y+z)^2

Resposta

partial upartial x =1y+z, partial upartial y =z - x(y+z)^2, partial upartial z =-x+y(y+z)^2

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