Utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x 3 x^2-5 x+6x^2-4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite lim x 3 x^2-5 x+6x^2-4 x+3 usando a Regra de L’Hôpital. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de limites. Para resolver, vamos precisar identificar se o limite está numa forma indeterminada que permita aplicar a Regra de L’Hôpital, e então calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 3 diretamente na expressão para ver qual é o comportamento do limite.
Numerador:
3^2 - 5 times 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0
Denominador:
3^2 - 4 times 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0
Então, ao substituir x = 3, tanto o numerador quanto o denominador dão 0, ou seja, temos uma forma 00, que é indeterminada e permite o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital é utilizada exatamente nessas situações de formas indeterminadas 00 ou inftyinfty. Ela nos diz que, nesses casos, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador ao invés do limite original.

Passo 4

Vamos então derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador x^2 - 5x + 6:
ddx(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5
Derivada do denominador x^2 - 4x + 3:
ddx(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4

Passo 5

Com as derivadas em mãos, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas encontradas:
lim x 3 2x - 52x - 4

Passo 6

Agora, substituímos x = 3 na nova expressão para encontrar o limite:
Numerador:
2 times 3 - 5 = 6 - 5 = 1
Denominador:
2 times 3 - 4 = 6 - 4 = 2
Então, o limite fica:
12

Resposta

O limite lim x 3 x^2-5 x+6x^2-4 x+3 é igual a 12.

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