Utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
usando a Regra de L’Hôpital. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de limites. Para resolver, vamos precisar identificar se o limite está numa forma indeterminada que permita aplicar a Regra de L’Hôpital, e então calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver qual é o comportamento do limite.
Numerador:
Denominador:
Então, ao substituir
, tanto o numerador quanto o denominador dão 0, ou seja, temos uma forma
, que é indeterminada e permite o uso da Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital é utilizada exatamente nessas situações de formas indeterminadas
ou
. Ela nos diz que, nesses casos, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador ao invés do limite original.
Passo 4
Vamos então derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 5
Com as derivadas em mãos, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas encontradas:
Passo 6
Agora, substituímos
na nova expressão para encontrar o limite:
Numerador:
Denominador:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite
é igual a
.