Utilize a regra de LHopital para resolver os limites abaixo.
lim x 0 arctan (x)x.

Passo 1

Vamos resolver o limite limx 0 arctan(x)x usando a regra de L’Hôpital. Esse exercício faz parte do estudo de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de L’Hôpital, que nos ajuda a calcular limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o limite apresenta uma forma indeterminada. Substituindo x = 0 na expressão, temos:
arctan(0)0 = 00
Como obtemos 00, que é uma forma indeterminada, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em uma forma indeterminada 00 ou inftyinfty, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite da nova fração exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Derivada de arctan(x):
ddx arctan(x) = 11 + x^2
  • Derivada de x:
ddx x = 1

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
limx 0 arctan(x)x = limx 0 11 + x^21

Passo 6

Agora, substituímos x = 0 na nova expressão:
11 + 0^2 = 11 = 1

Resposta

O limite limx 0 arctan(x)x é igual a 1.

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