Utilize a Regra de Simpson 1 / 3 para aproximar a integral de f(x)=e^{-x^{2}} no intervalo [0,1] com n=4 subintervalos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que está dado:
  • Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx usando a Regra de Simpson 1/3.
  • A função é \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}.
  • O intervalo é [0,1].
  • O número de subintervalos é n=4.
Informações relevantes que temos do enunciado: os limites a=0 e b=1, a função f(x) e que devemos usar exatamente n=4 subintervalos. Não há outras condições ocultas.

Passo 2

Apresentação e explicação da Regra de Simpson 1/3 (fórmula e o que cada símbolo significa)
A Regra de Simpson 1/3 aproxima \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx por
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_{0}) + 4\sum_{\text{índices ímpares}} f(x_{i}) + 2\sum_{\text{índices pares}} f(x_{i}) + f(x_{n})\bigr].ííí
Aqui:
  • n é o número de subintervalos (deve ser par).
  • h é a largura de cada subintervalo, definida por h=\dfrac{b-a}{n}.
  • x_{0}=a, x_{n}=b e x_{i}=a+i\,h para i=0,1,\dots,n.
  • Na soma multiplicada por 4 entram os f(x_{i}) com i ímpar ( i=1,3,5,\dots).
  • Na soma multiplicada por 2 entram os f(x_{i}) com i par, excluindo as extremidades ( i=2,4,\dots,n-2).
Intuição rápida e informal: Simpson combina aproximações quadráticas (parabólicas) em pares de subintervalos, por isso precisa de n par e por isso surgem os coeficientes 4 e 2 alternados.

Passo 3

Calcular h e os nós \{x_{i}\}
Calcule h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}=0,25.
Os nós são x_{i}=0 + i\cdot 0,25. Portanto:
x_{0}=0,\quad x_{1}=0,25,\quad x_{2}=0,50,\quad x_{3}=0,75,\quad x_{4}=1.

Passo 4

Avaliar a função f(x)=e^{-x^{2}} em cada nó (explicando o que fazemos)
Precisamos dos valores f(x_{i}) para i=0,\dots,4. Aqui calculamos f(x)=e^{-x^{2}} inserindo cada x_{i}.
  • f(x_{0})=f(0)=e^{-0^{2}}=e^{0}=1.
  • f(x_{1})=f(0,25)=e^{-(0,25)^{2}}=e^{-0,0625}\approx 0,9394130628.
  • f(x_{2})=f(0,50)=e^{-(0,50)^{2}}=e^{-0,25}\approx 0,7788007831.
  • f(x_{3})=f(0,75)=e^{-(0,75)^{2}}=e^{-0,5625}\approx 0,5697828247.
  • f(x_{4})=f(1)=e^{-1}\approx 0,3678794412.
Observação didática: os valores exponenciais foram aproximados numericamente (é comum usar calculadora para e^{x} na prova). Se fosse necessário sem calculadora, teríamos que usar séries ou tabelas, mas aqui usamos aproximações decimais para continuar o método.

Passo 5

Agrupar somas necessárias para Simpson (pares e ímpares)
Identificamos os índices ímpares e pares (excluindo extremidades):
  • Índices ímpares: i=1,3. Somamos f(x_{1})+f(x_{3}):
f(x_{1})+f(x_{3})\approx 0,9394130628 + 0,5697828247 = 1,5091958875.
  • Índices pares (excluindo extremos): i=2. Soma:
f(x_{2})\approx 0,7788007831.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Simpson com os números e calcular passo a passo
Aplique a fórmula:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_{0}) + 4(f(x_{1})+f(x_{3})) + 2(f(x_{2})) + f(x_{4})\bigr].
Substituindo h=0,25 e os valores numéricos:
\frac{h}{3}=\frac{0,25}{3}=0,0833333333\ldots
e o colchete:
f(x_{0}) + 4(f(x_{1})+f(x_{3})) + 2(f(x_{2})) + f(x_{4})
= 1 + 4\cdot 1,5091958875 + 2\cdot 0,7788007831 + 0,3678794412.
Calcule os termos:
4\cdot 1,5091958875 = 6,0367835500,
2\cdot 0,7788007831 = 1,5576015662.
Somando tudo dentro do colchete:
1 + 6,0367835500 + 1,5576015662 + 0,3678794412 = 8,9622645574.
Agora multiplica pelo fator \dfrac{h}{3}:
0,0833333333\ldots \times 8,9622645574 \approx 0,7468553798.
Portanto a aproximação pelo método de Simpson com n=4 é aproximadamente 0,7468553798.

Passo 7

Comentário sobre precisão (curto e motivador)
Para termos ideia da qualidade: o valor exato pode ser expresso por \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\approx 0,7468241328. A aproximação de Simpson que encontramos, 0,7468553798, difere do valor exato em cerca de 0,0000312470, ou seja, erro muito pequeno — Simpson fechou bem aqui. Bom trabalho; isso mostra por que Simpson é uma ótima ferramenta quando f é suave.

Resposta

0,7468553798

Exercícios relacionados