Utilize a Regra de Simpson
para aproximar a integral de
no intervalo
com
subintervalos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que está dado:
- Pede-se aproximar a integral
usando a Regra de Simpson . - A função é
. - O intervalo é
. - O número de subintervalos é
.
Informações relevantes que temos do enunciado: os limites
e
, a função
e que devemos usar exatamente
subintervalos. Não há outras condições ocultas.
Passo 2
Apresentação e explicação da Regra de Simpson
(fórmula e o que cada símbolo significa)
A Regra de Simpson
aproxima
por
Aqui:
-
é o número de subintervalos (deve ser par). -
é a largura de cada subintervalo, definida por . -
, e para . - Na soma multiplicada por
entram os com ímpar ( ). - Na soma multiplicada por
entram os com par, excluindo as extremidades ( ).
Intuição rápida e informal: Simpson combina aproximações quadráticas (parabólicas) em pares de subintervalos, por isso precisa de
par e por isso surgem os coeficientes
e
alternados.
Passo 3
Calcular
e os nós
Calcule
:
Os nós são
. Portanto:
Passo 4
Avaliar a função
em cada nó (explicando o que fazemos)
Precisamos dos valores
para
. Aqui calculamos
inserindo cada
.
Observação didática: os valores exponenciais foram aproximados numericamente (é comum usar calculadora para
na prova). Se fosse necessário sem calculadora, teríamos que usar séries ou tabelas, mas aqui usamos aproximações decimais para continuar o método.
Passo 5
Agrupar somas necessárias para Simpson (pares e ímpares)
Identificamos os índices ímpares e pares (excluindo extremidades):
- Índices ímpares:
. Somamos :
- Índices pares (excluindo extremos):
. Soma:
Passo 6
Aplicar a fórmula de Simpson com os números e calcular passo a passo
Aplique a fórmula:
Substituindo
e os valores numéricos:
e o colchete:
Calcule os termos:
Somando tudo dentro do colchete:
Agora multiplica pelo fator
:
Portanto a aproximação pelo método de Simpson com
é aproximadamente
.
Passo 7
Comentário sobre precisão (curto e motivador)
Para termos ideia da qualidade: o valor exato pode ser expresso por
. A aproximação de Simpson que encontramos,
, difere do valor exato em cerca de
, ou seja, erro muito pequeno — Simpson fechou bem aqui. Bom trabalho; isso mostra por que Simpson é uma ótima ferramenta quando
é suave.