Utilize as regras e resultados sobre derivação parcial e diferenciabilidade discutidos em sala para resolver as seguintes questões.
(2 pontos) Calcule da a derivada de segunda ordem \frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x, y) para a função
f(x, y)=x^{3} y^{2}+\cos \left(\frac{1}{y^{4}+1+e^{y+\operatorname{sen}(y)}}}\\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(x,y)
da função
f(x,y)=x^3y^2+\cos\!\biggl(\frac{1}{y^4+1+e^{y+\operatorname{sen}(y)}}\biggr).
O conteúdo aqui é derivação parcial e uso da regra de diferenciação em cadeia. Vamos primeiro obter \frac{\partial f}{\partial x} e depois derivar esse resultado em relação a y.

Passo 2

Para achar \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante.
A derivada de x^3y^2 em relação a x é
\frac{\partial}{\partial x}(x^3y^2) =3x^2y^2.
O termo \cos\bigl(\dots\bigr) não depende de x, então sua derivada parcial em relação a x é zero.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^2y^2.

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2y^2 em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^2y^2\bigr) =3x^2\cdot 2y =6x^2y.
Esse resultado é justamente \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(x,y), e, sendo f de classe C^2, coincide com \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(x,y).

Resposta

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(x,y)=6x^2y.

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