Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes:
12 pi i ointgamma f(z) d z, onde f(z)=e^zz(z+1)(z+2) e gamma é o triângulo com vértices 1 pm i e -3 , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa usando resíduos. O enunciado nos dá a função $ f(z) = \frac{e^{z}}{z(z+1)(z+2)} $ e uma curva f(z) = e^zz(z+1)(z+2) que é um triângulo com vértices em gamma e 1 pm i, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao identificar e somar os resíduos das singularidades dentro da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde estão as singularidades da função $ f(z) $. Essas singularidades são os pontos onde o denominador da função é zero, ou seja, $ z = 0 $, $ z = -1 $ e $ z = -2 $. Esses são pólos simples da função porque cada um aparece apenas uma vez no denominador.

Passo 3

Agora, precisamos saber quais desses pólos estão dentro da nossa curva gamma. A curva gamma é um triângulo com vértices em 1 + i, 1 - i e -3. Vamos visualizar rapidamente:
  • $ z = 0 $ está no meio do caminho entre z = 0 e 1 pm i, então está dentro do triângulo.
  • $ z = -1 $ também está dentro desse triângulo.
  • $ z = -2 $ fica um pouco mais para a esquerda, mas ainda dentro do triângulo.
Então, todos os três pólos estão dentro da curva -3.

Passo 4

Agora que sabemos que os pólos $ z = 0 $, $ z = -1 $ e $ z = -2 $ estão dentro da curva, vamos calcular o resíduo de $ f(z) $ em cada um desses pontos. Para um pólo simples, o resíduo é dado por:
z = 0
Vamos calcular cada resíduo:
  1. Para $ z = 0 $:
z = -1
  1. Para $ z = -1 $:
z = -2
  1. Para $ z = -2 $:
f(z)

Passo 5

Com os resíduos calculados, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral ao redor da curva gamma é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro da curva. A equação dada no problema é:
12 pi i ointgamma f(z) dz
Então, substituindo pelos resíduos que encontramos:
12 pi i cdot 2pi i ( 12 - 1e + 12e^2 ) = 12 - 1e + 12e^2

Resposta

O valor da integral é $ \frac{1}{2} - \frac{1}{e} + \frac{1}{2e^{2}} $.

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