Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes:
, onde
e
é o triângulo com vértices
e -3 , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa usando resíduos. O enunciado nos dá a função $ f(z) = \frac{e^{z}}{z(z+1)(z+2)} $ e uma curva
que é um triângulo com vértices em
e
, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao identificar e somar os resíduos das singularidades dentro da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde estão as singularidades da função $ f(z) $. Essas singularidades são os pontos onde o denominador da função é zero, ou seja, $ z = 0 $, $ z = -1 $ e $ z = -2 $. Esses são pólos simples da função porque cada um aparece apenas uma vez no denominador.
Passo 3
Agora, precisamos saber quais desses pólos estão dentro da nossa curva
. A curva
é um triângulo com vértices em
,
e
. Vamos visualizar rapidamente:
- $ z = 0 $ está no meio do caminho entre
e , então está dentro do triângulo. - $ z = -1 $ também está dentro desse triângulo.
- $ z = -2 $ fica um pouco mais para a esquerda, mas ainda dentro do triângulo.
Então, todos os três pólos estão dentro da curva
.
Passo 4
Agora que sabemos que os pólos $ z = 0 $, $ z = -1 $ e $ z = -2 $ estão dentro da curva, vamos calcular o resíduo de $ f(z) $ em cada um desses pontos. Para um pólo simples, o resíduo é dado por:
Vamos calcular cada resíduo:
- Para $ z = 0 $:
- Para $ z = -1 $:
- Para $ z = -2 $:
Passo 5
Com os resíduos calculados, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral ao redor da curva
é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro da curva. A equação dada no problema é:
Então, substituindo pelos resíduos que encontramos:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{1}{2} - \frac{1}{e} + \frac{1}{2e^{2}} $.