Utilize resíduos para calcular
(vi) integral-pi^pi 11+sen^2 t d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-pi^pi 11+sin^2 t , dt usando o método de resíduos. Isso está dentro do conteúdo de cálculo complexo, especificamente usando a Teoria dos Resíduos para calcular integrais reais. Para resolver isso, vamos precisar converter a integral em termos de números complexos e identificar os resíduos dos polos da função integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que podemos expressar funções trigonométricas usando números complexos. Para facilitar, vamos usar a substituição $ z = e^{it} $, o que transforma a integral em um contorno no círculo unitário no plano complexo. Com essa substituição, temos que $ dz = i e^{it} dt $, ou seja, $ dt = \frac{dz}{i z} $.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função sin t em termos de $ z $. Sabemos que:
z
Então, sin t = e^it - e^-it2i = z - 1z2i fica:
sin^2 t

Passo 4

Substituindo sin^2 t na integral original, temos:
1 + sin^2 t = 1 + z^2 - 2 + 1z^2-4 = 4 - (z^2 - 2 + 1z^2)4 = 6 - z^2 - 1z^24
Portanto, a integral fica:
integral-pi^pi 11+sin^2 t dt = oint|z|=1 16 - z^2 - 1z^24 cdot dzi z = oint|z|=1 46 - z^2 - 1z^2 cdot dzi z

Passo 5

Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por $ z^{2} $:
z^2
Rearranjando, temos:
4 z^26 z^2 - z^4 - 1 cdot dzi z = 4 z6 z^2 - z^4 - 1 cdot dzi

Passo 6

Agora, identificamos os polos da função z-z^4 + 6 z^2 - 1. Para encontrar os polos, resolvemos a equação -z^4 + 6 z^2 - 1 = 0, que pode ser escrita como z^4 - 6 z^2 + 1 = 0. Essa é uma equação quadrática em z^2, então deixamos w = z^2:
w^2 - 6w + 1 = 0 implies w = 6 pm raiz36 - 42 = 3 pm raiz8 = 3 pm 2raiz2
Portanto, os valores de z são z = pm raiz3 pm 2raiz2.

Passo 7

Dos quatro polos, apenas dois estão dentro do círculo unitário |z|=1. Vamos calcular os resíduos nesses polos. Para isso, usamos a fórmula do Resíduo:
Res(z-z^4 + 6 z^2 - 1, zk) = zk-4 zk^3 + 12 zk
Simplificando:
Res = zk-4 zk^3 + 12 zk = 1-4 zk^2 + 12

Passo 8

Somando os resíduos dos polos dentro do círculo unitário e aplicando o Teorema dos Resíduos:
oint|z|=1 z-z^4 + 6 z^2 - 1 dz = 2pi i ( Resz1 + Resz2 )
Substituindo os resíduos e lembrando do fator 4i:
4i cdot 2pi i ( Resz1 + Resz2 ) = 8pi ( 1-4 z1^2 + 12 + 1-4 z2^2 + 12 )

Passo 9

Resolvendo as expressões para os resíduos e simplificando, encontramos que a soma dos resíduos resulta em 14. Portanto:
8pi cdot 14 = 2pi

Resposta

boxed2pi

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