Utilize resíduos para calcular
(vi)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de resíduos. Isso está dentro do conteúdo de cálculo complexo, especificamente usando a Teoria dos Resíduos para calcular integrais reais. Para resolver isso, vamos precisar converter a integral em termos de números complexos e identificar os resíduos dos polos da função integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que podemos expressar funções trigonométricas usando números complexos. Para facilitar, vamos usar a substituição $ z = e^{it} $, o que transforma a integral em um contorno no círculo unitário no plano complexo. Com essa substituição, temos que $ dz = i e^{it} dt $, ou seja, $ dt = \frac{dz}{i z} $.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em termos de $ z $. Sabemos que:
Então,
fica:
Passo 4
Substituindo
na integral original, temos:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por $ z^{2} $:
Rearranjando, temos:
Passo 6
Agora, identificamos os polos da função
. Para encontrar os polos, resolvemos a equação
, que pode ser escrita como
. Essa é uma equação quadrática em
, então deixamos
:
Portanto, os valores de
são
.
Passo 7
Dos quatro polos, apenas dois estão dentro do círculo unitário
. Vamos calcular os resíduos nesses polos. Para isso, usamos a fórmula do Resíduo:
Simplificando:
Passo 8
Somando os resíduos dos polos dentro do círculo unitário e aplicando o Teorema dos Resíduos:
Substituindo os resíduos e lembrando do fator
:
Passo 9
Resolvendo as expressões para os resíduos e simplificando, encontramos que a soma dos resíduos resulta em
. Portanto: