Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique o critério utilizado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries alternadas e aplicar o Teste da Série Alternada. Vamos precisar entender como identificar séries alternadas e aplicar os critérios desse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos observar se a série dada é alternada. Uma série é alternada quando os termos positivos e negativos se alternam. No nosso caso, temos o termo
, que alterna o sinal dos termos conforme
aumenta. Então, sim, nossa série é alternada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar a convergência de séries alternadas. Esse teste diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- A sequência
é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar essas condições para a nossa série.
Primeiro, identificamos
.
Condição 1:
é decrescente?
Vamos analisar
. Conforme
aumenta, o denominador
cresce mais rápido do que o numerador
, fazendo com que
diminua. Portanto,
é decrescente.
Condição 2:
?
Calculamos o limite:
Conforme
fica bem grande, a fração inteira tende a zero.
Resposta
Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas, a série
converge.