Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique o critério utilizado.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4 converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries alternadas e aplicar o Teste da Série Alternada. Vamos precisar entender como identificar séries alternadas e aplicar os critérios desse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos observar se a série dada é alternada. Uma série é alternada quando os termos positivos e negativos se alternam. No nosso caso, temos o termo (-1)^n+1, que alterna o sinal dos termos conforme n aumenta. Então, sim, nossa série é alternada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar a convergência de séries alternadas. Esse teste diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. A sequência é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar essas condições para a nossa série.
Primeiro, identificamos .
Condição 1: é decrescente?
Vamos analisar . Conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido do que o numerador , fazendo com que diminua. Portanto, é decrescente.
Condição 2: ?
Calculamos o limite:
Conforme fica bem grande, a fração inteira tende a zero.

Resposta

Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas, a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4 converge.

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