Utilize o T.F.C para calcular as seguintes integrais:
(a) integral0^2(t^2+3 t-1) d t
(d) integral0^1 71+t^2 d t
(g) integral0^pi3(sen r+sen 2 r) d r
(b) integral1^4 1raizx d x
(e) integral1^4 1+xraizx d x
(h) integral0^2 2^z d z
(c) integral1^2 1+xx^3 d x
(f) integral0^12 1raiz1-x^2 d x
(i) integral0^1 cosh s d s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular nove integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O conteúdo é: se F'(x)=f(x), então
integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a)
Em cada item vamos encontrar uma antiderivada F de f e depois calcular F nos limites dados.

Passo 2

(a) Temos
integral0^2(t^2+3t-1),dt
Uma antiderivada é
F(t)=t^33+3t^22-t
Logo
integral0^2(t^2+3t-1),dt =F(2)-F(0) =l(83+6-2r)-0 =83+4 =203

Passo 3

(b) Temos
integral1^41raizx,dx =integral1^4x^-12,dx
Antiderivada:
F(x)=2x^12
Então
integral1^4x^-12,dx =2raiz4-2raiz1 =4-2 =2

Passo 4

(c) Temos
integral1^21+xx^3,dx =integral1^2l(x^-3+x^-2r),dx
Antiderivada:
F(x)=-12x^2-1x
Logo
integral1^2l(x^-3+x^-2r),dx =l(-18-12r)-l(-12-1r) =-58+ 32 =78

Passo 5

(d) Temos
integral0^171+t^2,dt =7integral0^111+t^2,dt
Antiderivada:
F(t)=7arctan t
Então
integral0^171+t^2,dt =7l(arctan(1)-arctan(0)r) =7cdotpi4 =7pi4

Passo 6

(e) Temos
integral1^41+xraizx,dx =integral1^4l(x^-12+x^12r),dx
Antiderivada:
F(x)=2x^12+23x^32
Logo
integral1^4l(x^-12+x^12r),dx =l(4+163r)-l(2+23r) =283-83 =203

Passo 7

(f) Temos
integral0^tfrac121raiz1-x^2,dx
Antiderivada:
F(x)=arcsin x
Então
integral0^tfrac121raiz1-x^2,dx =arcsin!l(tfrac12r)-arcsin(0) =pi6

Passo 8

(g) Temos
integral0^pi3(sen r+sen 2r),dr
Antiderivada:
F(r)=-cos r-cos 2r2
Logo
integral0^pi3(sen r+sen 2r),dr =l(-tfrac12-l(-tfrac12cdot12r)r) -l(-1-tfrac12r) =54

Passo 9

(h) Temos
integral0^22^z,dz =integral0^2e^zln 2,dz
Antiderivada:
F(z)=2^zln 2
Então
integral0^22^z,dz =2^2-2^0ln 2 =4-1ln 2 =3ln 2

Passo 10

(i) Temos
integral0^1cosh s,ds
Antiderivada:
F(s)=sinh s
Logo
integral0^1cosh s,ds =sinh(1)-sinh(0) =sinh(1)

Resposta

(a) tfrac203
(b) 2
(c) tfrac78
(d) tfrac7pi4
(e) tfrac203
(f) tfracpi6
(g) tfrac54
(h) tfrac3ln 2
(i) sinh(1)

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