Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada Inversa de Laplace de cada uma das seguintes funções:
F(s)=2s(s^2+4)

Passo 1

A questão quer encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=2s,(s^2+4) usando o teorema da convolução. Esse assunto faz parte de transformadas de Laplace, e vamos precisar da tabela de transformadas inversas básicas e da definição de convolução no domínio do tempo.

Passo 2

Escrevemos F(s) como produto de duas funções cujas inversas conhecemos: escolhemos F1(s)=2s e F2(s)=1s^2+4, pois então F(s)=F1(s),F2(s).

Passo 3

Aplicamos a transformada inversa a cada parte: pela tabela, f1(t)= L^-1[2/s]=2 e f2(t)= L^-1[1/(s^2+4)]=tfrac12sin(2t), já que L[sin(2t)]=2/(s^2+4).

Passo 4

Pelo teorema da convolução, a inversa de F(s)=F1(s)F2(s) é f(t)=(f1*f2)(t), ou seja:
f(t)=integral0^tf1(tau),f2(t-tau),dtau=integral0^t2cdottfrac12sinl(2(t-tau)r),dtau=integral0^tsinl(2(t-tau)r),dtau

Passo 5

Para facilitar a integração fazemos a troca de variável u=t-tau, obtendo
f(t)=integral0^tsin(2u),du

Passo 6

Calculando essa integral usando integralsin(2u),du=-tfrac12cos(2u):
f(t)=l[-tfrac12cos(2u)r]0^t=l(-tfrac12cos(2t)r)-l(-tfrac12cos0r)=tfrac12l(1-cos(2t)r)

Resposta

f(t)=tfrac12l(1-cos(2t)r)

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