Utilize o Teorema de Stokes para calcular ointC F cdot d r, em que
F(x, y, z)=lang<=-y, z ln (4+x^2+y^2), e^x^2+y^2 sen^2(x y)rang<=
e C é a curva de interseção do parabolóide z=9-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=4, orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
ointCvec Fcdot dvec r
onde
vec F(x,y,z)=llang<= -y,;zln(4+x^2+y^2),;e^x^2+y^2sen^2(xy)rrang<=
e C é a curva x^2+y^2=4, z=9-x^2-y^2, orientada anti-horário vista de cima.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos substituir a curva C pela borda de uma superfície simples com o mesmo contorno, calcular nablatimesvec F e integrar a componente normal.

Passo 2

Escolhemos como superfície S o disco plano
S:;z=5, x^2+y^2<=4,
pois sua borda é exatamente C. A orientação anti-horário vista de cima corresponde ao vetor normal vec n=lang<=0,0,1rang<=.

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS =integral duplaD(nablatimesvec F)z,dx,dy,
onde D é o disco x^2+y^2<=4.

Passo 4

Calculemos apenas a componente z de nablatimesvec F:
(nablatimesvec F)z =partialpartial xl[zln(4+x^2+y^2)r] -partialpartial y(-y) = 2xz4+x^2+y^2+1
Em S temos z=5, logo
(nablatimesvec F)z =1+10x4+x^2+y^2

Passo 5

Então
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaDl(1+10x4+x^2+y^2r),dx,dy =integral duplaD1,dx,dy +;10integral duplaDx4+r^2,dx,dy
Pela simetria, o segundo integral é zero (função ímpar em x sobre disco simétrico). Logo resta
integral duplaD1,dx,dy =área(D) =picdot2^2 =4pi á

Resposta

ointCvec Fcdot dvec r = 4pi

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