Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a curva de interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
e
é a curva
,
, orientada anti-horário vista de cima.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos substituir a curva pela borda de uma superfície simples com o mesmo contorno, calcular
e integrar a componente normal.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos substituir a curva
Passo 2
Escolhemos como superfície
o disco plano
pois sua borda é exatamente
. A orientação anti-horário vista de cima corresponde ao vetor normal
.
Passo 3
Pelo Teorema de Stokes
onde
é o disco
.
Passo 4
Calculemos apenas a componente
de
:
Em
temos
, logo
Passo 5
Então
Pela simetria, o segundo integral é zero (função ímpar em
sobre disco simétrico). Logo resta