Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o teste da integral ou comparando com uma
-série. O conteúdo envolvido é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes, que diz que se
é contínua, positiva e decrescente para
, então
converge se, e somente se, a integral imprópria
for finita.
Passo 2
Definimos a função
Note que
para
. Para verificar que
é decrescente em
, calculamos a derivada:
Como
para
, concluímos que
para
. Logo, a partir de algum ponto
é positiva e decrescente, condição suficiente para aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
, vem
e quando
temos
, quando
temos
. Assim
Essa integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.