Utilize o teste da integral ou o teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=2^infty ln nn

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=2^infty ln nn
usando o teste da integral ou comparando com uma p-série. O conteúdo envolvido é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes, que diz que se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x>= a, então
sumn=a^infty f(n)
converge se, e somente se, a integral imprópria
integrala^infty f(x),dx
for finita.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=ln xx, x>=2
Note que f(x)>0 para x>1. Para verificar que f é decrescente em [2,infty), calculamos a derivada:
f'(x) =1cdot x - (ln x)cdot1x^2 =1-ln xx^2
Como 1-ln x<0 para x>eapprox2,718, concluímos que f'(x)<0 para x>=3. Logo, a partir de algum ponto f é positiva e decrescente, condição suficiente para aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral2^inftyln xx,dx
Fazendo a substituição u=ln x, vem du=dxx e quando x=2 temos u=ln2, quando xtoinfty temos utoinfty. Assim
integral2^inftyln xx,dx =integralln2^inftyu,du =u^22|ln2^infty =limUtoinftyU^22-(ln2)^22 =infty
Essa integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
integral2^inftyln xx,dx=infty,
a série
sumn=2^inftyln nn
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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