Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
5.3 sumn=1^infty (-1)^n+14 n^2+1;

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a série
5.3sumn=1^infty(-1)^n+14n^2+1
converge usando o teste de Leibniz. Isso cai em Série Alternada, e a gente vai precisar verificar três coisas: que os sinais são alternados, que os termos em valor absoluto formam uma sequência decrescente e que eles vão a zero.

Passo 2

Primeiro, olhe os sinais: temos (-1)^n+1 multiplicando um termo positivo, então os sinais realmente alternam de positivo pra negativo a cada termo. Isso satisfaz a condição de alternância do teste de Leibniz.

Passo 3

Depois, defina an=5.34n^2+1. Note que o fator 5.3 é constante e não muda a monotonicidade. Compare an+1 com an: como 4(n+1)^2+1>4n^2+1, temos 14(n+1)^2+1<14n^2+1. Logo, an+1<an, ou seja, a sequência an é decrescente.

Passo 4

Agora, verifique o limite de an. Como o denominador cresce sem limite, fica claro que
limntoinftyan=limntoinfty5.34n^2+1=0

Passo 5

Com isso, temos as três hipóteses do teste de Leibniz atendidas: sinais alternados, termos decrescentes e limite zero. Portanto a série converge pelo teste de Leibniz.

Resposta

A série converge pelo teste de Leibniz.

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