Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
;
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que a série
converge usando o teste de Leibniz. Isso cai em Série Alternada, e a gente vai precisar verificar três coisas: que os sinais são alternados, que os termos em valor absoluto formam uma sequência decrescente e que eles vão a zero.
Passo 2
Primeiro, olhe os sinais: temos
multiplicando um termo positivo, então os sinais realmente alternam de positivo pra negativo a cada termo. Isso satisfaz a condição de alternância do teste de Leibniz.
Passo 3
Depois, defina
. Note que o fator 5.3 é constante e não muda a monotonicidade. Compare
com
: como
, temos
. Logo,
, ou seja, a sequência
é decrescente.
Passo 4
Agora, verifique o limite de
. Como o denominador cresce sem limite, fica claro que
Passo 5
Com isso, temos as três hipóteses do teste de Leibniz atendidas: sinais alternados, termos decrescentes e limite zero. Portanto a série converge pelo teste de Leibniz.
Resposta
A série converge pelo teste de Leibniz.