Utilize o Teste da Série Alternada para decidir quanto a convergência ou divergência de cada série abaixo.
-25+46-67+88-109+ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série usando o Teste da Série Alternada. O enunciado nos dá a série:
-25 + 46 - 67 + 88 - 109 + ldots
Vamos precisar entender o que é uma série alternada e como aplicar o teste específico para elas, que nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observe que os sinais estão alternando entre negativo e positivo. Podemos reescrever a série de forma geral como:
sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot 2nn+4
Aqui, (-1)^n+1 é o que faz os sinais alternarem, e 2nn+4 é a parte positiva dos termos.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma:
sumn=1^infty (-1)^n an
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. an é decrescente, ou seja, an+1 <= an para todo n .
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0 .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se an = 2nn+4 é decrescente. Observando a expressão, conforme n aumenta, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas a fração simplifica para:
2nn+4 = 21 + 4n
À medida que n cresce, 4n fica menor, então an está aumentando, não decrescendo. Isso já indica que a série não atende à primeira condição do teste.

Passo 5

Mesmo assim, vamos verificar a segunda condição: o limite de an .
limn to infty 2nn+4 = limn to infty 21 + 4n = 21 + 0 = 2
O limite não é zero, o que significa que a série não atende nem a segunda condição do teste.

Resposta

A série -25 + 46 - 67 + 88 - 109 + ldots diverge segundo o Teste da Série Alternada.

Exercícios relacionados