Utilize o Teste da Série Alternada para decidir quanto a convergência ou divergência de cada série abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série usando o Teste da Série Alternada. O enunciado nos dá a série:
Vamos precisar entender o que é uma série alternada e como aplicar o teste específico para elas, que nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observe que os sinais estão alternando entre negativo e positivo. Podemos reescrever a série de forma geral como:
Aqui,
é o que faz os sinais alternarem, e
é a parte positiva dos termos.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
-
é decrescente, ou seja, para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: se
é decrescente. Observando a expressão, conforme
aumenta, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas a fração simplifica para:
À medida que
cresce,
fica menor, então
está aumentando, não decrescendo. Isso já indica que a série não atende à primeira condição do teste.
Passo 5
Mesmo assim, vamos verificar a segunda condição: o limite de
.
O limite não é zero, o que significa que a série não atende nem a segunda condição do teste.
Resposta
A série
diverge segundo o Teste da Série Alternada.