Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{sen} t U(t-2 \pi), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + 4y = \sin t\,U(t-2\pi), \quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
e pede para resolver usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é transformar a EDO em álgebra, lidar com a função degrau atrasada e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
\mathcal L\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \quad \mathcal L\{y\}(s)=Y(s),
obtemos
s^2Y(s)-s\cdot1-0 +4Y(s) =\mathcal L\{\sin t\,U(t-2\pi)\}(s).
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(s^2+4)Y(s)-s =\mathcal L\{\sin t\,U(t-2\pi)\}(s).

Passo 3

Para a transformada de \sin t\,U(t-2\pi) reescrevemos
\sin t\,U(t-2\pi) =\sin\bigl((t-2\pi)+2\pi\bigr)\,U(t-2\pi) =\sin(t-2\pi)\,U(t-2\pi),
pois \sin(u+2\pi)=\sin u. Então, pelo teorema do deslocamento,
\mathcal L\{\sin(t-2\pi)\,U(t-2\pi)\}(s) =e^{-2\pi s}\,\mathcal L\{\sin t\}(s) =\frac{e^{-2\pi s}}{s^2+1}.
Substituindo na equação de Y(s) temos
(s^2+4)Y(s)-s =\frac{e^{-2\pi s}}{s^2+1}.

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s) =\frac{s}{s^2+4} +\frac{1}{s^2+4}\,\frac{e^{-2\pi s}}{s^2+1} =\frac{s}{s^2+4} +\frac{e^{-2\pi s}}{(s^2+1)(s^2+4)}.

Passo 5

Fazemos frações parciais em
\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+4}.
Temos
1 = A(s^2+4)+B(s^2+1) =(A+B)s^2 + (4A+B),
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A+B=0,\quad 4A+B=1 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac13,\;B=-\tfrac13.
Assim
\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{1/3}{s^2+1}-\frac{1/3}{s^2+4}.

Passo 6

Invertemos termo a termo. Sabemos
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{s}{s^2+4}\Bigr\}(t) =\cos(2t), \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^2+1}\Bigr\}(t) =\sin t, \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^2+4}\Bigr\}(t) =\tfrac12\sin(2t).
Então
\mathcal L^{-1}\{Y(s)\}(t) =\cos(2t) +U(t-2\pi)\Bigl[\tfrac13\sin(t-2\pi)-\tfrac13\cdot\tfrac12\sin\bigl(2(t-2\pi)\bigr)\Bigr].
Como \sin(t-2\pi)=\sin t e \sin(2(t-2\pi))=\sin(2t), obtemos a solução final.

Resposta

y(t)=\cos(2t) +U(t-2\pi)\Bigl(\tfrac13\sin t - \tfrac16\sin(2t)\Bigr).

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