Utilize Transformadas de Laplace para resolver a equação integral de convolução:
y(x)=x^3+integral0^1 4 y(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integral de Fredholm
y(x)=x^3+integral0^14,y(t),dt
usando Transformadas de Laplace. Aqui o termo integral0^14,y(t),dt é uma constante em x, que chamaremos de
C = integral0^14,y(t),dt

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados, obtemos
Y(s) = Lx^3 + LC
Sabemos que
Lx^3=6s^4, LC=Cs,
logo
Y(s)=6s^4+Cs

Passo 3

Em vez de lidar diretamente com C no domínio de s, voltamos ao domínio de x. Note que a equação original pode ser diferenciada em x sem afetar a constante C:
ddxy(x)=ddx(x^3)+ddxC Longrightarrow y'(x)=3x^2

Passo 4

Integrando y'(x)=3x^2, encontramos
y(x)=x^3+D,
onde D é constante de integração. Mas de y(0) na equação original,
y(0)=0^3+integral0^14,y(t),dt=C,
logo D=C. Portanto
y(x)=x^3+C

Passo 5

Falta determinar C. Da definição,
C=integral0^14,y(t),dt =4integral0^1l(t^3+Cr),dt =4l[14+Cr] =1+4C
Resolvendo para C:
C=1+4C Longrightarrow -3C=1 Longrightarrow C=-tfrac13

Resposta

boxedy(x)=x^3-13

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