Utilize transformadas de Laplace para resolver as equações diferenciais.
y^{\prime}+y=x e^{-x} ; \quad y(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'(x)+y(x)=x e^{-x},\quad y(0)=-2
usando transformada de Laplace. Vamos necessitar das propriedades
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s) e
\mathcal{L}\{x e^{-x}\}(s)=\frac{1}{(s+1)^2}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
\mathcal{L}\{y'\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s) =\mathcal{L}\{x e^{-x}\}(s)
ou seja
\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2}.

Passo 3

Substituindo y(0)=-2 e agrupando termos em Y(s), temos
(s+1)Y(s)+2=\frac{1}{(s+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad (s+1)Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2}-2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{(s+1)^3}-\frac{2}{s+1}.

Passo 4

Agora fazemos a transformada inversa termo a termo. Sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^3}\}(x)=\tfrac{x^2}{2}e^{-x}
e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s+1}\}(x)=2e^{-x}.
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y(x)=\frac{x^2}{2}e^{-x}-2e^{-x} =\Bigl(\frac{x^2}{2}-2\Bigr)e^{-x}.

Resposta

y(x)=\bigl(\tfrac{x^2}{2}-2\bigr)e^{-x}.

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