Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
d^3 yd x^3-3 d^2 yd x^2+3 d yd x-y=x^2 e^2 ; y(0)=1, y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, a EDO de terceira ordem \r
d^3ydx^3-3d^2ydx^2+3dydx-y = x^2e^2x \r
com condições iniciais \r
;y(0)=1, y'(0)=2, y''(0)=3 \r
O conteúdo é solução de EDO por transformada de Laplace: vamos transformar cada termo, usar as condições iniciais, isolar Y(s)= Ly(x), e depois inverter Y(s) para obter y(x).

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace à EDO. Lembrando
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
Ly'''=s^3Y(s)-s^2y(0)-s,y'(0)-y''(0),
e
Lx^2e^2x =2!(s-2)^3 =2(s-2)^3
Substituindo na EDO e usando y(0)=1,y'(0)=2,y''(0)=3, obtemos
(s^3Y -s^2cdot1 -scdot2 -3);-;3(s^2Y -scdot1 -2);+;3(sY -1);-;Y =2(s-2)^3

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os termos conhecidos, nota-se que
s^3-3s^2+3s-1=(s-1)^3,
e que a parte constante dá -s^2+s. Assim a equação vira
(s-1)^3,Y(s);-;(s^2 - s) =2(s-2)^3
Logo
Y(s) =s^2 - s(s-1)^3 ;+;2(s-1)^3,(s-2)^3 =s(s-1)^2+2(s-1)^3,(s-2)^3

Passo 4

Agora invertemos em duas parcelas:
  1. s(s-1)^2 =s-1+1(s-1)^2 =1s-1+1(s-1)^2 Longrightarrow L^-1cdots =e^x+x,e^x
  2. 2(s-1)^3(s-2)^3
    Pode-se inverter recorrendo à convolução ou à decomposição em frações parciais. O resultado, após cálculo dos coeficientes, é
    L^-1tfrac2(s-1)^3(s-2)^3 =e^2x(x^2-6x+12) ;-;e^x(x^2+6x+12)

Resposta

Somando as duas partes, a solução é
boxedy(x)=e^x+x,e^x ;+;e^2x(x^2-6x+12) ;-;e^x(x^2+6x+12)
Podemos também juntar termos em e^x:
y(x)=e^xl(-x^2-5x-11r) ;+;e^2xl(x^2-6x+12r)

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