Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
d qd t+q=4 cos 2 r ; q(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
d qd t + q = 4cos(2t), q(0)=0,
e pede para resolver usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Lq'(t)(s)=sQ(s)-q(0) e Lcos(2t)(s)=tfracss^2+4.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação
Lq'(t)(s) + Lq(t)(s) =4,Lcos(2t)(s)
ficamos com
l(sQ(s)-q(0)r) + Q(s) =4;ss^2+4
Como q(0)=0, isso reduz para
(s+1),Q(s)=4ss^2+4

Passo 3

Isolando Q(s) obtemos
Q(s)=4s(s+1)(s^2+4)

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando por
Daí , , logo

Passo 5

Agora invertemos termo a termo:
q(t) =-45e^-t +45cos(2t) +165,12sin(2t) =-45e^-t +45cos(2t) +85sin(2t)

Resposta

q(t)=-45e^-t+45cos(2t)+85sin(2t)

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