Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
ddotx+9 dotx+14 x=0 ; x(0)=0, dotx(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
ddotx(t) + 9,dotx(t) + 14,x(t) = 0
sujeita às condições iniciais x(0)=0 e dotx(0)=-1, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ldotx(t)(s)=sX(s)-x(0) e
Lddotx(t)(s)=s^2X(s)-s,x(0)-dotx(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
Lddotx(s) + 9,Ldotx(s) + 14,Lx(s) = 0
Substituindo as condições iniciais x(0)=0 e dotx(0)=-1, dá
l(s^2X(s)-scdot 0-(-1)r) + 9l(sX(s)-0r) + 14,X(s) = 0
ou seja
s^2X(s) + 1 +9sX(s) +14X(s) = 0

Passo 3

Agrupando X(s) em um só termo,
X(s)l(s^2 + 9s + 14r) = -1,
logo
X(s) = -1s^2 + 9s + 14
Fatorando o denominador,
s^2+9s+14 = (s+2)(s+7),
então
X(s) = -1(s+2)(s+7)

Passo 4

Fazendo frações parciais, escrevemos
-1(s+2)(s+7) = As+2 + Bs+7
Multiplicando em comum denominador:
-1 = A(s+7) + B(s+2)
Para s=-2: -1 = Acdot5, logo A=-tfrac15.
Para s=-7: -1 = Bcdot(-5), logo B=tfrac15.
Assim
X(s) = -15,1s+2 + 15,1s+7

Passo 5

Aplicando a transformada de Laplace inversa a cada termo:
x(t) = -15e^-2t + 15e^-7t = 15l(e^-7t-e^-2tr)

Resposta

x(t) = 15l(e^-7t - e^-2tr)

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