Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
x+4 dotx+4 x=0 ; x(0)=2, dotx(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial linear de segunda ordem
ddotx(t) + 4dotx(t) + 4x(t) = 0
com condições iniciais x(0)=2 e dotx(0)=-2. Vamos precisar usar as fórmulas
Ldotx(s)=sX(s)-x(0) e
Lddotx(s)=s^2X(s)-s,x(0)-dotx(0),
onde X(s)=Lx(t)(s).

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace termo a termo na equação:
Lddotx + 4,Ldotx + 4,Lx = 0
Substituindo as condições iniciais e as fórmulas:
(s^2X(s)-scdot 2 -(-2)) + 4,(sX(s)-2) + 4X(s) = 0

Passo 3

Reuno termos em X(s) e simplifico os termos constantes:
(s^2 + 4s +4),X(s) -2s +2 -8 = 0 Longrightarrow (s^2 + 4s +4),X(s) -2s -6 = 0
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X(s) = 2s +6s^2 +4s +4

Passo 4

Observamos que o denominador é (s+2)^2 e escrevemos o numerador de forma conveniente:
2s+6 = 2(s+2)+2
Assim
X(s) = 2(s+2)(s+2)^2 + 2(s+2)^2 = 2s+2 + 2(s+2)^2

Passo 5

Uso a transformada inversa conhecida:
L^-1tfrac1s+2=e^-2t e
L^-1tfrac1(s+2)^2=t,e^-2t.
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x(t) = 2,e^-2t + 2,t,e^-2t

Resposta

x(t) = 2,e^-2t + 2,t,e^-2t

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