Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime-3 y=e^2 x ; y(0)=2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y^prime - 3y = e^2x com a condição inicial y(0) = 2 usando as transformadas de Laplace. As transformadas de Laplace são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais, especialmente aquelas com condições iniciais. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em toda a equação e utilizar propriedades das transformadas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
  • A transformada de y^prime é Ly^prime = sY(s) - y(0) , onde Y(s) é a transformada de y(x) .
  • A transformada de e^2x é Le^2x = 1s - 2 .
Aplicando isso na equação original:
Ly^prime - 3Ly = Le^2x
Substituindo pelas transformadas conhecidas:
sY(s) - y(0) - 3Y(s) = 1s - 2

Passo 3

Sabemos que y(0) = 2 . Substituindo esse valor na equação:
sY(s) - 2 - 3Y(s) = 1s - 2
Agora, vamos agrupar os termos que contêm Y(s) :
(s - 3)Y(s) = 1s - 2 + 2

Passo 4

Vamos isolar Y(s) :
Y(s) = 1(s - 2)(s - 3) + 2s - 3
Para simplificar, fazemos a decomposição em frações parciais da primeira fração:
1(s - 2)(s - 3) = -1s - 2 + 1s - 3
Substituindo de volta na expressão de Y(s) :
Y(s) = -1s - 2 + 1s - 3 + 2s - 3 = -1s - 2 + 3s - 3

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(x) . Sabemos que:
L^-11s - a = e^a x
Aplicando isso aos termos de Y(s) :
y(x) = -e^2x + 3e^3x

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 3,e^3x - e^2x

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