Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
usando as transformadas de Laplace. As transformadas de Laplace são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais, especialmente aquelas com condições iniciais. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em toda a equação e utilizar propriedades das transformadas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
- A transformada de
é , onde é a transformada de . - A transformada de
é .
Aplicando isso na equação original:
Substituindo pelas transformadas conhecidas:
Passo 3
Sabemos que
. Substituindo esse valor na equação:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 4
Vamos isolar
:
Para simplificar, fazemos a decomposição em frações parciais da primeira fração:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: