Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime+2 y=e^x ; y(0)=1

Passo 1

O problema é resolver o valor inicial
y'(x) + 2,y(x) = e^x, y(0)=1
usando transformada de Laplace. Vamos precisar da propriedade
Ly'(s)=sY(s)-y(0), da transformada de e^x e de frações parciais para inverter depois.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação, com Y(s)=Ly(x)(s), obtemos
Ly'(s) + 2,Ly(s) =Le^x(s)
Pelas propriedades,
l(sY(s)-y(0)r) +2Y(s)=1s-1
Como y(0)=1, fica
sY(s)-1 +2Y(s)=1s-1

Passo 3

Reúnem-se os termos em Y(s):
Y(s)(s+2)-1=1s-1 Longrightarrow Y(s)(s+2)=1+1s-1 Longrightarrow Y(s)=1s+2+1(s-1)(s+2)

Passo 4

Fazemos frações parciais em
com
daí . Então

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace termo a termo:
y(x) =23e^-2x+13e^,x

Resposta

y(x)=23e^-2x+13e^x

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