(V/F) Se \operatorname{det}\left(A^{T}\right) \leq 0, então \operatorname{det}\left(A^{T} A\right) \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é:
Se \operatorname{det}\!\left(A^{T}\right) \leq 0, então \operatorname{det}\!\left(A^{T} A\right) \leq 0.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • A é uma matriz quadrada (pois estamos falando de determinantes).
  • Quer-se verificar a validade da implicação lógica acima para matrizes arbitrárias A.

Passo 2

Vou lembrar duas propriedades fundamentais de determinantes que vou usar (explico cada uma):
  1. Igualdade do determinante da transposta: para qualquer matriz quadrada A,
\operatorname{det}\!\left(A^{T}\right)=\operatorname{det}\!(A).
Explicação rápida: a transposição apenas reordena entradas em linhas/colunas, e a definição de determinante (soma sobre permutações com sinais) é invariante por essa operação; por isso o determinante não muda.
  1. Determinante do produto: para matrizes quadradas A e B de mesma ordem,
\operatorname{det}\!(AB)=\operatorname{det}\!(A)\,\operatorname{det}\!(B).
Explicação rápida: o determinante é uma função multiplicativa em relação ao produto de matrizes; isso pode ser mostrado usando propriedades de operações elementares ou pelo desenvolvimento sobre permutações.

Passo 3

Usando as propriedades acima, calculo \operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right):
\operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)=\operatorname{det}\!\left(A^{T}\right)\operatorname{det}\!(A).
Pelo item 1, \operatorname{det}\!\left(A^{T}\right)=\operatorname{det}\!(A). Substituindo:
\operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)=\operatorname{det}\!(A)\cdot\operatorname{det}\!(A)=\bigl(\operatorname{det}\!(A)\bigr)^{2}.
Portanto \operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)=\bigl(\operatorname{det}\!(A)\bigr)^{2}.

Passo 4

Observação sobre quadrado: para qualquer número real x tem-se x^{2}\ge 0. Aplicando isso a x=\operatorname{det}\!(A), obtemos
\operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)=\bigl(\operatorname{det}\!(A)\bigr)^{2}\ge 0.
Logo \operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right) nunca é estritamente negativo; só pode ser 0 ou positivo.

Passo 5

Interpretação da implicação do enunciado: ele diz que sempre que \operatorname{det}\!\left(A^{T}\right)\le 0 então \operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)\le 0. A partir do que vimos, \operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)\ge 0 sempre. Portanto a conclusão \operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)\le 0 só pode ocorrer quando \operatorname{det}\!(A)=0. Em particular, se \operatorname{det}\!(A)<0 (o que implica \operatorname{det}\!\left(A^{T}\right)<0) então \operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)=(\operatorname{det}\!(A))^{2}>0, contradizendo a afirmação do enunciado. Assim a afirmação é falsa.

Passo 6

Exemplo numérico-contraditório (contraexemplo simples): tome a matriz A de ordem 1 com entrada -1, isto é A=[-1].
Calcule:
\operatorname{det}\!\left(A^{T}\right)=\operatorname{det}\!([-1])=-1\le 0,
porém
\operatorname{det}\!\left(A^{T}A\right)=\operatorname{det}\!([-1]\cdot[-1])=\operatorname{det}\!([1])=1>0.
Isso mostra concretamente que a implicação do enunciado falha.

Resposta

Falso

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