(V/F) Se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é:
Se
, então
.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
-
é uma matriz quadrada (pois estamos falando de determinantes). - Quer-se verificar a validade da implicação lógica acima para matrizes arbitrárias
.
Passo 2
Vou lembrar duas propriedades fundamentais de determinantes que vou usar (explico cada uma):
- Igualdade do determinante da transposta: para qualquer matriz quadrada
,
Explicação rápida: a transposição apenas reordena entradas em linhas/colunas, e a definição de determinante (soma sobre permutações com sinais) é invariante por essa operação; por isso o determinante não muda.
- Determinante do produto: para matrizes quadradas
e de mesma ordem,
Explicação rápida: o determinante é uma função multiplicativa em relação ao produto de matrizes; isso pode ser mostrado usando propriedades de operações elementares ou pelo desenvolvimento sobre permutações.
Passo 3
Usando as propriedades acima, calculo
:
Pelo item 1,
. Substituindo:
Portanto
.
Passo 4
Observação sobre quadrado: para qualquer número real
tem-se
. Aplicando isso a
, obtemos
Logo
nunca é estritamente negativo; só pode ser
ou positivo.
Passo 5
Interpretação da implicação do enunciado: ele diz que sempre que
então
. A partir do que vimos,
sempre. Portanto a conclusão
só pode ocorrer quando
. Em particular, se
(o que implica
) então
, contradizendo a afirmação do enunciado. Assim a afirmação é falsa.
Passo 6
Exemplo numérico-contraditório (contraexemplo simples): tome a matriz
de ordem
com entrada
, isto é
.
Calcule:
Calcule:
porém
Isso mostra concretamente que a implicação do enunciado falha.
Resposta
Falso