Se V1=(1,0,0,-1) e V2=(1,1,1,0), considere o seguinte subespaço W de R^4 :
V in W se, e somente se, V é ortogonal a V1 e V é ortogonal a V2 éé
(b) Os vetores V1 e V2 e V3=(4,3,3,-2) são LI ou LD? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4,
V1=(1,0,0,-1), V2=(1,1,1,0), V3=(4,3,3,-2),
e pergunta se V1,V2,V3 é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente). Para isso, vamos usar a definição: eles são LI se a única solução do sistema
lambda1V1+lambda2V2+lambda3V3=0
é lambda1=lambda2=lambda3=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula
lambda1(1,0,0,-1)+lambda2(1,1,1,0)+lambda3(4,3,3,-2)=(0,0,0,0),
que dá o sistema de equações componente a componente:

Passo 3

Componente a componente, obtemos
lambda1 + lambda2 + 4lambda3 = 0, lambda2 + 3lambda3 = 0, lambda2 + 3lambda3 = 0, -lambda1 -2lambda3 = 0

Passo 4

Das equações intermediárias tiramos
lambda2 + 3lambda3=0implies lambda2=-3lambda3
e
-lambda1-2lambda3=0implies lambda1=-2lambda3
Substituindo essas em lambda1+lambda2+4lambda3=0, vem
(-2lambda3) + (-3lambda3) + 4lambda3 = (-5+4)lambda3 = -lambda3 = 0
logo lambda3=0. Daí lambda1=lambda2=0.

Passo 5

Como a única solução é lambda1=lambda2=lambda3=0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores V1,V2,V3 são linearmente independentes.

Exercícios relacionados