(vale 1) Dados os pontos \mathrm{A}(0,1,-2), \mathrm{B}(2,1,-1), \vec{v}=(-3,2,-1), \vec{u}=(1,1,0), \vec{w}= (1,1,0), verificar se existem a_{1}, a_{2} e a_{3} tais que \vec{w}=a_{1} \overrightarrow{A B}+a_{2} \vec{u}-a_{3} \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os pontos e vetores abaixo e pede para verificar se existem escalares a_{1},a_{2},a_{3} tais que uma combinação linear dá \vec{w}. Lista de dados e o que se pede:
A(0,1,-2),\quad B(2,1,-1),
\vec{v}=(-3,2,-1),\quad \vec{u}=(1,1,0),\quad \vec{w}=(1,1,0).
Pergunta: existem a_{1},a_{2},a_{3} tais que
\vec{w}=a_{1}\overrightarrow{AB}+a_{2}\vec{u}-a_{3}\vec{v}\\ ?

Passo 2

Primeiro vamos calcular o vetor \overrightarrow{AB}. A definição de vetor entre dois pontos é subtrair as coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A.
Calculando coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=(2-0,\;1-1,\;-1-(-2))=(2,0,1).

Passo 3

Agora escrevemos a igualdade pedida como soma de coordenadas. Lembre que multiplicar o vetor \vec{v} por -a_{3} é -a_{3}\vec{v}. Assim:
a_{1}\overrightarrow{AB}+a_{2}\vec{u}-a_{3}\vec{v} = a_{1}(2,0,1)+a_{2}(1,1,0)-a_{3}(-3,2,-1).
Calculemos explicitamente cada componente: o termo -a_{3}\vec{v} vale
-a_{3}\vec{v}=-a_{3}(-3,2,-1)=(3a_{3},-2a_{3},a_{3}).
Somando componente a componente obtemos:
(2a_{1}+a_{2}+3a_{3},\;0\cdot a_{1}+a_{2}-2a_{3},\;a_{1}+0\cdot a_{2}+a_{3}).

Passo 4

Igualamos essa soma ao vetor \vec{w}=(1,1,0). Isso gera um sistema linear em a_{1},a_{2},a_{3}:
\begin{cases} 2a_{1}+a_{2}+3a_{3}=1,\\[4pt] a_{2}-2a_{3}=1,\\[4pt] a_{1}+a_{3}=0. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da terceira equação temos:
a_{1}+a_{3}=0 \implies a_{1}=-a_{3}.
Substituindo a_{1}=-a_{3} na primeira equação:
2(-a_{3})+a_{2}+3a_{3}=1 \implies -2a_{3}+a_{2}+3a_{3}=1 \implies a_{2}+a_{3}=1.
Logo
a_{2}=1-a_{3}.

Passo 6

Agora usamos a segunda equação a_{2}-2a_{3}=1. Substituindo a_{2}=1-a_{3} obtemos:
(1-a_{3})-2a_{3}=1 \implies 1-3a_{3}=1 \implies -3a_{3}=0 \implies a_{3}=0.
Com a_{3}=0 voltamos nas expressões anteriores:
a_{1}=-a_{3}=0,\qquad a_{2}=1-a_{3}=1.

Passo 7

Verificação rápida substituindo na combinação:
a_{1}\overrightarrow{AB}+a_{2}\vec{u}-a_{3}\vec{v} =0\cdot(2,0,1)+1\cdot(1,1,0)-0\cdot(-3,2,-1)=(1,1,0)=\vec{w},
ou seja, confirma-se a solução.

Resposta

a_{1}=0
a_{2}=1
a_{3}=0

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