(Vale: 2,5 ) Calcule a área da Superfície S definida pela equação vetorial
\vec{r}(u, v)=u^{2} \vec{i}+v \vec{j}+\frac{v^{3}}{3} \vec{k}
em que 0 \leq v \leq 1 ; 0 \leq u \leq \sqrt{v^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada por
\vec{r}(u,v)=u^{2}\,\vec{i}+v\,\vec{j}+\frac{v^{3}}{3}\,\vec{k}
no domínio
0\le v\le1,\quad 0\le u\le\sqrt{v^{3}}.
O conteúdo é cálculo de área de superfície paramétrica, que usa a fórmula
\text{Área}=\iint_{D}\bigl\|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\bigr\|\,dA.Á

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\vec r_{u}=\frac{\partial}{\partial u}(u^{2},\,v,\,\tfrac{v^{3}}{3})=(2u,\,0,\,0),
\vec r_{v}=\frac{\partial}{\partial v}(u^{2},\,v,\,\tfrac{v^{3}}{3})=(0,\,1,\,v^{2}).

Passo 3

O produto vetorial é
\vec r_{u}\times\vec r_{v} =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\\ 2u & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & v^{2} \end{vmatrix} =(0,\,-2u\,v^{2},\,2u).
Sua norma é
\bigl\|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\bigr\| =2u\sqrt{v^{4}+1}.

Passo 4

A área vale
\int_{v=0}^{1}\int_{u=0}^{\sqrt{v^{3}}}2u\sqrt{1+v^{4}}\,du\,dv.
Na integral em u:
\int_{0}^{\sqrt{v^{3}}}2u\,du =\bigl[u^{2}\bigr]_{0}^{\sqrt{v^{3}}} =v^{3}.
Logo a área reduz-se a
\int_{0}^{1}v^{3}\sqrt{1+v^{4}}\,dv.

Passo 5

Para calcular
\displaystyle\int_{0}^{1}v^{3}\sqrt{1+v^{4}}\,dv, faça t=1+v^{4}, então dt=4v^{3}dv. Os limites vão de t(0)=1 até t(1)=2. Assim
\int_{0}^{1}v^{3}\sqrt{1+v^{4}}\,dv =\tfrac{1}{4}\int_{1}^{2}t^{\frac12}dt =\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{3}\bigl[t^{\frac{3}{2}}\bigr]_{1}^{2} =\tfrac{1}{6}\bigl(2^{\frac{3}{2}}-1\bigr).

Resposta

A área da superfície é
\frac{1}{6}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).

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