(Vale: 2,0) Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=z \vec{i}+x y \vec{j}+2 x^{3} \vec{k} e a superfície S é o parabolóide z=9-x^{2}-y^{2} acima da região D definida por x^{2}+y^{2} \leq 9 ; x \geq 0 e y \geq 0. Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S com orientação positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=z\,\vec{i}+xy\,\vec{j}+2x^{3}\,\vec{k} através da superfície S\colon z=9-x^{2}-y^{2} com orientação positiva (para cima), sobre a região D\colon x^{2}+y^{2}\le9, x\ge0, y\ge0. O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, e vamos parametrizar S, calcular o vetor normal orientado para cima e então integrar o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{S}.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;9-x^{2}-y^{2}\bigr), \quad (x,y)\in D.
As derivadas parciais são
\mathbf{r}_x=(1,0,-2x), \quad \mathbf{r}_y=(0,1,-2y).
O vetor normal orientado para cima é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y =(2x,\;2y,\;1),
pois seu terceiro componente é positivo.

Passo 3

Em cada ponto da superfície, \vec{F}=\bigl(z,\,xy,\,2x^3\bigr) com z=9-x^2-y^2. Logo
\vec{F}\bigl(\mathbf{r}(x,y)\bigr) =\bigl(9-x^2-y^2,\;xy,\;2x^3\bigr).
Fazendo o produto escalar com \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y obtemos
\bigl(9-x^2-y^2,\,xy,\,2x^3\bigr)\cdot(2x,2y,1) =2x(9-x^2-y^2)+2y\,(xy)+2x^3.
Simplificando, os termos em x^3 e xy^2 se cancelam, sobrando
18x.

Passo 4

O fluxo é
\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iint_D 18x\,dA.
Usamos coordenadas polares em D: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le3, 0\le\theta\le\frac\pi2. Assim
\iint_D18x\,dA =18\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{3}(r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta =18\Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{3}r^2\,dr\Bigr).

Passo 5

Calculando as integrais:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=1, \quad \int_{0}^{3}r^2\,dr=\frac{3^3}{3}=9.
Logo o fluxo vale
18\cdot1\cdot9=162.

Resposta

O fluxo de \vec{F} através de S (orientação positiva) é 162.

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