(Vale: 2,0) Seja o campo vetorial
e a superfície S é o parabolóide
acima da região D definida por
e
. Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S com orientação positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
com orientação positiva (para cima), sobre a região
,
,
. O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, e vamos parametrizar
, calcular o vetor normal orientado para cima e então integrar o produto escalar
.
Passo 2
Parametrizamos
por
As derivadas parciais são
O vetor normal orientado para cima é
pois seu terceiro componente é positivo.
Passo 3
Em cada ponto da superfície,
com
. Logo
Fazendo o produto escalar com
obtemos
Simplificando, os termos em
e
se cancelam, sobrando
Passo 4
O fluxo é
Usamos coordenadas polares em
:
,
,
, com
,
. Assim
Passo 5
Calculando as integrais:
Logo o fluxo vale
Resposta
O fluxo de
através de
(orientação positiva) é
.