(Vale: 2,0) Calcule a integral de superfície \iint_{S} y z d S em que a superfície S é a equação do plano z=2+x+3 y que está acima do retângulo \mathrm{R}=[0,2] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S}y\,z\,dS
onde S é o gráfico do plano z=2+x+3y sobre o retângulo R=[0,2]\times[0,1].
O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar numa superfície dada como gráfico z=f(x,y). Vamos parametrizar S por (x,y)\in R e usar
dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy.

Passo 2

Parametrizamos
\mathbf r(x,y)=(x,y,2+x+3y),\quad (x,y)\in[0,2]\times[0,1].
Então f(x,y)=2+x+3y. Calculamos as derivadas parciais:
f_x=1,\quad f_y=3
e assim
dS=\sqrt{1+1^2+3^2}\,dx\,dy=\sqrt{1+1+9}\,dx\,dy=\sqrt{11}\,dx\,dy.

Passo 3

Na parametrização, temos
y\,z=y\bigl(2+x+3y\bigr),
então a integral de superfície vira
\iint_{S}y\,z\,dS =\iint_{R}y\,(2+x+3y)\,\sqrt{11}\;dx\,dy =\sqrt{11}\iint_{0\le x\le2,\;0\le y\le1}y\,(2+x+3y)\,dx\,dy.

Passo 4

Primeiro integramos em x:
\int_{0}^{2}y\,(2+x+3y)\,dx =y\int_{0}^{2}(2+x+3y)\,dx =y\Bigl[2x+\tfrac{x^2}{2}+3y\,x\Bigr]_{0}^{2} =y\bigl(4+2+6y\bigr) =6y+6y^2.
Agora integramos em y:
\sqrt{11}\int_{0}^{1}(6y+6y^2)\,dy =\sqrt{11}\Bigl[6\cdot\tfrac{y^2}{2}+6\cdot\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\sqrt{11}\bigl(3+2\bigr) =5\sqrt{11}.

Resposta

5\sqrt{11}

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