(Vale: 1,0) Resolva no conjunto dos números complexos a equação x^{3}-4 x^{2}+6 x-4=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver no conjunto dos números complexos a equação
x^{3} - 4x^{2} + 6x - 4 = 0.
Este é um polinômio de grau 3. Vamos usar o teste de raízes racionais para encontrar uma raiz real e depois fatorar o polinômio, reduzindo-o a uma equação quadrática, que resolveremos com a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Pelos divisores de -4, as raízes racionais possíveis são \pm1, \pm2, \pm4. Avaliando a função
f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 6x - 4
vemos que
f(1) = 1 - 4 + 6 - 4 = -1 \neq 0, \quad f(2) = 8 - 16 + 12 - 4 = 0.
Portanto, x = 2 é uma raiz.

Passo 3

Como x=2 é raiz, dividimos
x^{3} - 4x^{2} + 6x - 4
por (x - 2). Usando divisão sintética ou longa, obtemos o quociente
x^{2} - 2x + 2.
Logo, a fatoração é
x^{3} - 4x^{2} + 6x - 4 = (x - 2)\,(x^{2} - 2x + 2).

Passo 4

Para encontrar as raízes do fator quadrático x^{2} - 2x + 2 = 0, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
\Delta = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4,
x = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2\,i}{2} = 1 \pm i.

Resposta

As raízes no conjunto \mathbb{C} são 2, 1 + i e 1 - i.

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