(Vale: 1,0 ) Construa o gráfico(um perıodo completo) da função f(x)=-1+3 \cos \left(\frac{x}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça o esboço de um período completo da função
f(x) = -1 + 3\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
O conteúdo aqui é análise de funções trigonométricas: vamos precisar identificar a amplitude, a reta média, o período e os pontos críticos (máximos, mínimos e pontos de interseção com a reta média) para depois ligar tudo com uma curva suave.

Passo 2

Amplitude: como vem multiplicado por 3, a amplitude é
A = 3.
Reta média: o termo -1 desloca verticalmente o cosseno, logo a reta média é
y = -1.
Período: para \cos(bx) o período é 2\pi/b. Aqui temos b = \tfrac12, então
T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi.
Portanto um período completo vai de, por exemplo, x=0 até x=4\pi.

Passo 3

Vamos usar os “quartis” do ciclo para achar valores-chave em x=0,\;\pi,\;2\pi,\;3\pi,\;4\pi.
  • Em x=0: \tfrac{x}{2}=0, \cos0=1, f(0)=-1+3\cdot1=2.
  • Em x=\pi: \tfrac{x}{2}=\tfrac\pi2, \cos\tfrac\pi2=0, f(\pi)=-1+3\cdot0=-1.
  • Em x=2\pi: \tfrac{x}{2}=\pi, \cos\pi=-1, f(2\pi)=-1+3\cdot(-1)=-4.
  • Em x=3\pi: \tfrac{x}{2}=\tfrac{3\pi}2, \cos\tfrac{3\pi}2=0, f(3\pi)=-1+3\cdot0=-1.
  • Em x=4\pi: \tfrac{x}{2}=2\pi, \cos2\pi=1, f(4\pi)=-1+3\cdot1=2.

Passo 4

Podemos montar uma tabela resumindo esses pontos:
x 0 \pi 2\pi 3\pi 4\pi
f(x) 2 -1 -4 -1 2
Esses são os extremos e pontos médios de cada quarto de período. A partir deles traçamos a curva do cosseno deslocada.

Passo 5

Para construir o gráfico:
  1. Desenhe o eixo x marcando 0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi.
  2. Desenhe o eixo y e marque y=-4,\,-1,\,2.
  3. Plote os pontos (0,2), (\pi,-1), (2\pi,-4), (3\pi,-1), (4\pi,2).
  4. Ligue-os com uma curva suave de formato cosseno: atinge máximo em 2, desce até mínimo em -4 e volta ao máximo, completando 4\pi de período.

Resposta

Segue o esboço do período completo de f(x)=-1+3\cos(\tfrac x2) em 0\le x\le4\pi, passando pelos pontos da tabela acima e variando sinusoidalmente entre 2 e -4.

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