(Vale: 1,0 ) Seja a função f(x)=-3+2^{x+1}, determine a imagem de \mathrm{f}(\mathrm{x}) e faça um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = -3 + 2^{\,x+1}
e pede (1) a imagem (range) de f e (2) um esboço do gráfico. O conteúdo principal é função exponencial, e vamos usar que 2^{\,x+1}>0 para todo x, além de estudar assíntotas e alguns pontos notáveis para desenhar a curva.

Passo 2

Para obter a imagem, reescrevemos
f(x) = -3 + 2^{\,x+1}\;.
Como 2^{\,x+1}>0 para todo x, temos
2^{\,x+1}\in(0,\infty) \quad\Longrightarrow\quad f(x) = -3 + 2^{\,x+1}\in(-3,\infty).
Logo a imagem de f é (-3,\infty).

Passo 3

Para esboçar o gráfico, identificamos:
– Assíntota horizontal em y=-3, pois 2^{\,x+1}\to0 quando x\to-\infty, então f(x)\to-3.
– Alguns pontos para guiar o desenho:
f(-1) = -3 + 2^{\,0} = -3 + 1 = -2,
f(0) = -3 + 2^{\,1} = -3 + 2 = -1,
f(1) = -3 + 2^{\,2} = -3 + 4 = 1.
A curva é crescente, passando por (-1,-2), (0,-1), (1,1).

Passo 4

No esboço, desenhamos o eixo x e y, traçamos a assíntota horizontal y=-3 como linha pontilhada, e depois a curva exponencial que se aproxima de y=-3 à esquerda e cresce rapidamente para a direita, passando pelos pontos calculados.

Resposta

A imagem de f é
(-3,\infty).
O gráfico é uma exponencial crescente com assíntota horizontal em y=-3, passando pelos pontos (-1,-2), (0,-1) e (1,1).

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