(Vale: 1,0 ) Efetue e simplifique:
\frac{2 x+4}{x-3}+\frac{x^{2}}{x^{3}+x^{2}-13 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma de duas frações algébricas
\frac{2x+4}{x-3}+\frac{x^{2}}{x^{3}+x^{2}-13x+3}.
O conteúdo que vamos usar envolve fatoração de polinômios, obtenção de denominador comum e soma de frações.

Passo 2

Começamos fatorando x^{3}+x^{2}-13x+3. Note que x=3 é raiz, pois
3^{3}+3^{2}-13\cdot3+3 =27+9-39+3=0.
Logo dividimos por x-3 (por exemplo, via divisão sintética) e obtemos
x^{3}+x^{2}-13x+3 = (x-3)(x^{2}+4x-1).
Assim a segunda fração fica
\frac{x^{2}}{(x-3)(x^{2}+4x-1)}.

Passo 3

O denominador comum às duas frações é
(x-3)(x^{2}+4x-1).
Reescrevendo a primeira fração com esse denominador:
\frac{2x+4}{x-3} = \frac{(2x+4)(x^{2}+4x-1)}{(x-3)(x^{2}+4x-1)}.
Logo
\frac{2x+4}{x-3}+\frac{x^{2}}{(x-3)(x^{2}+4x-1)} =\frac{(2x+4)(x^{2}+4x-1)+x^{2}}{(x-3)(x^{2}+4x-1)}.

Passo 4

Agora calculamos o numerador:
(2x+4)(x^{2}+4x-1) =2x^{3}+8x^{2}-2x +4x^{2}+16x-4 =2x^{3}+12x^{2}+14x-4.
Somando x^{2} vem
2x^{3}+12x^{2}+14x-4 + x^{2} =2x^{3}+13x^{2}+14x-4.
Portanto a soma é
\frac{2x^{3}+13x^{2}+14x-4}{(x-3)(x^{2}+4x-1)}.

Passo 5

Verificamos se o numerador 2x^{3}+13x^{2}+14x-4 tem algum fator em comum com (x-3) ou com x^{2}+4x-1. Uma divisão polinomial mostra resto não nulo, logo não há cancelamento. Esta é a forma final simplificada.

Resposta

\frac{2x^{3}+13x^{2}+14x-4}{(x-3)(x^{2}+4x-1)}.

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